Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) la suite définie par \(u_0\in]0,1]\) et par la relation de récurrence : $$u_{n+1}=\frac{u_n}2+\frac{u_n^2}4$$
Démontrer que la suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est monotone

Calculer le signe de \(u_{n+1}-u_n\)

On a : $$\begin{align}&u_{n}\gt u_{n+1}\\ \implies& u_n\gt \frac{u_n}2+\frac{u_n^2}4\\ \implies& 0\gt -\frac{u_n}2+\frac{u_n^2}4\\ \implies&0\gt -2u_n+u_n^2\\ \implies&0\gt \underbrace{u_n}_{\gt 0}\underbrace{(-2+u_n)}_{\lt 0}\lt 0\end{align}$$donc \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est strictement décroissante.
Elle est donc strictement monotone